Número de Ouro - Um trabalho interessante sobre o número de Ouro. Introdução O número de ouro é um numero irracional misterioso e enigmático que nos surge numa infinidade de elementos da natureza na forma de uma razão, sendo considerada por muitas como uma oferta de Deus ao mundo. Não se sabe ao certo quem começou a estudar esse numero, muitos matemáticos tentaram descobrir o que seria esta relação, por exemplo, Pitágoras, Platão, Euclides entre outros. Este número não é mais do que um valor numérico é reconhecido por muitos como o símbolo da harmonia. A escola grega de Pitágoras estudou e observou muitas relações e modelos numéricos que apareciam na natureza, beleza, harmonia musical e outros, mas provavelmente a mais importante é a razão áurea, razão divina ou proporção divina. A Razão Áurea e o Número de Ouro. Demonstração: Considere o segmento de reta, cujas duas extremidades se denominarão de A e C, e colocando um ponto B entre A e C (neste casso o B estará mais perto de A), de maneira que a razão do segmento de reta menor (AB) para o maior (BC) seja igual à razão do maior segmento (BC) para o segmento todo (AC).
A razão entre o comprimento destes segmentos designa habitualmente por seção áurea. Então tem- se que: Pode- se então definir o numero de ouro de fizer: O número de ouro vai ser a razão entre x e y: Se ainda substituir y por 1 tem- se: Utilizando a regra de três, temos: Resolvendo esta equação quadrática, obtêm as seguintes soluções: e Não se irá considerar o segundo valor (), tendo em conta que um comprimento, nunca poderá ser negativo. Chega- se então ao que se pretende, isto é, encontrou –se o tão esperado número de ouro φ (Phi): A designação adotada para este número, φ (phi) é a inicial do nome de Fidias que foi escultor e arquiteto encarregado da construção do Partheneon, em Atenas e por ter usado a proporção de ouro em muitos dos seus trabalhos. Esta razão já era utilizada pelos gregos e pelos egípcios que fizeram o mesmo com as pirâmides: cada pedra era 1,6. As câmaras no interior das pirâmides também seguiam essa proporção, de forma que os comprimentos das salas são 1,6. Figuras Geométricas. Retângulo de Ouro Outro exemplo do Número de Ouro poderá ser também obtido desenhando- se um retângulo de ouro, nele a razão entre o lado maior e o lado menor é igual ao número de Ouro. Este pode ser dividido num quadrado e em outro retângulo em que este é, também ele, um retângulo de ouro. Este processo pode ser repetido infinitamente mantendo- se a razão constante. Obras da arquitetura clássica, como o Parthenon, revelam o uso da razão áurea na busca de uma harmonia estética. Basta copiar o nome do livro deseja ou usar o nosso maravilhoso índice de livros no qual basta clicar no nome do livro e ter acesso a opções de download, resenhas. A fachada dessa obra, hoje em ruínas, esta sobreposta por formas retangulares. Se dividirmos as medidas dos lados maiores pelas medidas dos lados menores desses retângulos, obteremos números próximos da razão φ = 1,6. Pentágono Regular e a Estrela Pentagonal O pentágono regular tem na relação entre o comprimento da sua diagonal e o comprimento do seu lado o número de ouro. Os Pitagóricos usaram também a secção de ouro na construção da estrela pentagonal (ou pentagrama). Um pentagrama regular é obtido traçando- se diagonais de um pentágono regular. O pentágono menor, formado pelas intersecções das diagonais, também esta em proporção com o pentágono maior, de onde se originou o pentagrama. A razão entre as medidas das áreas dos dois pentágonos é igual à quarta potência da razão áurea. Porém não conseguiram exprimir como quociente entre dois números inteiros a razão existente entre o lado do pentágono estrelado e o lado do pentágono regular inscritos numa circunferência. Quando chegaram a esta conclusão ficaram muito espantados, pois tudo isto era muito contrario a toda a lógica que conheciam e defendiam que lhe chamaram irracional. Foi o primeiro número irracional de que se teve consciência que era. Este número era o número ou seção de ouro apesar deste nome só lhe ser atribuído dois mil anos depois. Quando Pitágoras descobriu que as proporções do pentagrama eram a proporção áurea, tornou este símbolo estrelado como a representação da Irmandade Pitagórica. Este era um dos motivos que levava Pitágoras a dizer que “tudo é número”, ou seja, que a natureza surge de padrões matemáticos. Posteriormente os gregos consideraram que o retângulo cujos lados possuíam esta relação apresentava uma especial harmonia estética e lhe chamaram retângulo áureo ou retângulo de ouro, considerando esta harmonia como uma virtude excepcional. Endoxus foi um matemático grego que se tornou conhecido devido a sua teoria das proporções e ao método da exaustão, criou uma serie de teoremas gerais de geometria e aplicou método de analise para estudar a seção que se acredita ser a seção de ouro. Fibonacci No fim da Idade Média havia duas escolas matemáticas: uma, a escola da Igreja e Universidade, voltada para um âmbito mais teórico e exaustivo; outra com uma finalidade mais prática e objetiva, a escola do comércio e dos mercadores, à qual pertencia Leonardo de Pisa, conhecido como Fibonacci. A contribuição de Fibonacci para o Número de Ouro está relacionada com a solução do seu problema dos coelhos publicado no seu livro Liber Abaci, a seqüência de números de Fibonacci. Este livro contém uma grande quantidade de assuntos relacionados com a Aritmética e Álgebra da época e realizou um papel importante no desenvolvimento matemático na Europa nos séculos seguintes, pois por este livro que os europeus vieram a conhecer os algarismos hindus, também denominados arábicos. O Problema de Fibonacci Quantos pares de coelhos podem ser gerados por um par de coelhos num ano, supondo que se começa com um par de coelhos num ambiente fechado. Desejamos saber quantos pares de coelhos podem ser gerados por este par num ano, se de um modo natural a cada mês ocorre a produção de um par e esse par começa a produzir coelhos quando completa dois meses de vida. Como o par adulto produz um par novo a cada 3. No início do terceiro mês, o par adulto terá produzido novamente mais um par, enquanto que o par recém nascido terá completado um mês de vida e ainda não estará apto a reproduzir- se. Assim, no início do terceiro mês, existirão três pares de coelhos, sendo: um par adulto + um par com um mês de idade + um par recém nascido. No início do quarto mês existirão dois pares adultos, sendo que cada um já produziu um novo par e um par novo que completou um mês, logo teremos cinco pares: dois pares adultos + um par com um mês + dois pares recém nascidos. Tal processo continua através dos diversos meses até completar um ano. Obtém- se a seguinte sequência de números, a qual conta o número de pares de coelhos existentes ao longo de cada um dos meses desse ano: Esta sequência, também chamada de sequência de Fibonacci, constrói- se de uma forma extremamente simples: cada número, exceptuando evidentemente os dois primeiros, é composto pela adição dos dois números precedentes. Como é um número extraído da sequencia de Fibonacci, representa diretamente uma constante de crescimento. O número áureo é retirado das sucessivas divisões a partir do terceiro número desta sucessão numérica pelos seus antecessores. Os valores de tais divisões ficam oscilando em volta do número de ouro, porém a cada nova divisão os valores tornam- se cada vez mais próximos de 1,6. Juntando dois quadrados unitários (Lado=1), teremos um rectângulo 2x. De novo anexamos outro quadrado com L=2 (o maior dos lados do rectângulo anterior) e teremos um rectângulo 3x. Continuamos a anexar quadrados com lados iguais ao maior dos comprimentos dos rectângulos obtidos antes. A sequência dos lados dos próximos quadrados é: 3,5,8,1. Fibonacci. Espiral de ouro: Com um compasso, trace um quarto de circunferência no quadrado de lado L=1. L=8, L=5, L=3, L=2, L=1 e L=1. Leonardo da Vinci e Número de Ouro Uma contribuição que não pode ser deixada de referir foi a de Leonardo Da Vinci (1. A excelência dos seus desenhos revela os seus conhecimentos matemáticos, bem como a utilização da razão áurea como garante de uma perfeição, beleza e harmonia únicas. Leonardo representa bem o Homem da Renascença, que fazia de tudo um pouco sem se fixar em nada. Era um génio de pensamento original que usou exaustivamente os seus conhecimentos de Matemática, nomeadamente o Número de Ouro, nas suas obras de arte. Um exemplo é a tradicional representação do homem em forma de estrela de cinco pontas, que foi baseada nos pentágonos, estrelado e regular, inscritos na circunferência.
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October 2017
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